Torricelli: Fórmula y demostración del teorema

El teorema de Torricelli es un principio importante en la física que nos permite calcular la velocidad del líquido que sale por un orificio en un tanque. Este teorema se basa en la ley de la conservación de la energía y el principio de Bernoulli. A través de la fórmula del teorema de Torricelli, podemos determinar la velocidad del líquido en función de la altura desde el orificio hasta la superficie libre del líquido. En este artículo, exploraremos en detalle qué es el teorema de Torricelli, cuál es su fórmula y cómo se puede demostrar utilizando los principios de conservación de la energía y Bernoulli. ¡Vamos a sumergirnos en este fascinante mundo de la hidrodinámica!

¿Qué es el teorema de Torricelli?

El teorema de Torricelli establece una relación entre la altura desde la cual cae un líquido y la velocidad que este adquiere al salir por un orificio. En términos más específicos, el teorema dice que la velocidad del líquido en el momento en que sale por el orificio es igual a la velocidad que adquiere un objeto que cae libremente desde la altura de la superficie libre del líquido hasta el orificio.

El teorema de Torricelli es de gran importancia en el estudio de la hidrodinámica y tiene una amplia gama de aplicaciones prácticas. Por ejemplo, es utilizado en la ingeniería civil para el diseño de sistemas de drenaje y en la industria para calcular el caudal de líquidos que fluyen a través de tuberías.

Fórmula para calcular la velocidad del líquido

La fórmula del teorema de Torricelli nos permite calcular la velocidad del líquido en el momento en que sale por un orificio en un tanque. Esta fórmula se expresa matemáticamente como:

v = √(2gh)

Donde v es la velocidad del líquido, g es la aceleración de la gravedad (9.8 m/s^2) y h es la altura desde el orificio hasta la superficie libre del líquido.

Esta fórmula nos proporciona una manera rápida y sencilla de determinar la velocidad del líquido en función de la altura desde la cual cae. Es importante tener en cuenta que esta fórmula es válida siempre y cuando no haya ninguna pérdida de energía debido a la fricción u otros factores.

Demostración del teorema utilizando el principio de conservación de la energía

La demostración del teorema de Torricelli utilizando el principio de conservación de la energía se basa en el hecho de que la energía total del sistema se conserva. Esto significa que la energía potencial gravitatoria que posee el líquido en la altura inicial se convierte en energía cinética en el momento en que sale por el orificio.

Para demostrar esto, consideremos un tanque lleno de líquido hasta una altura h desde el orificio. En este punto, el líquido posee una energía potencial gravitatoria dada por Ep = mgh, donde m es la masa del líquido y g es la aceleración de la gravedad. En el momento en que el líquido sale por el orificio, toda su energía potencial se convierte en energía cinética Ec = (1/2)mv^2, donde v es la velocidad del líquido.

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Aplicando el principio de conservación de la energía, podemos igualar la energía potencial inicial a la energía cinética final:

mgh = (1/2)mv^2

Eliminando la masa m de la ecuación, obtenemos:

gh = (1/2)v^2

Despejando v, obtenemos la fórmula del teorema de Torricelli:

v = √(2gh)

Esta demostración utilizando el principio de conservación de la energía nos muestra cómo la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética a medida que el líquido cae y sale por el orificio. Esta relación nos permite calcular la velocidad del líquido en función de la altura de caída.

Demostración del teorema utilizando el principio de Bernoulli

El teorema de Torricelli también se puede demostrar utilizando el principio de Bernoulli, que establece una relación entre la velocidad de un fluido y su presión. Según el principio de Bernoulli, a medida que la velocidad de un fluido aumenta, su presión disminuye y viceversa.

Para demostrar el teorema de Torricelli utilizando el principio de Bernoulli, consideremos un punto A en la superficie libre del líquido y un punto B en el orificio de salida. En el punto A, la velocidad del líquido es cero y la presión es la presión atmosférica. En el punto B, la velocidad del líquido es v y la presión es la presión atmosférica más la presión debida a la columna de líquido.

Aplicando el principio de Bernoulli entre los puntos A y B, obtenemos la siguiente ecuación:

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P_A + (1/2)ρv_A^2 + ρgh_A = P_B + (1/2)ρv_B^2 + ρgh_B

Donde P_A y P_B son las presiones en los puntos A y B respectivamente, ρ es la densidad del líquido, v_A es la velocidad del líquido en el punto A, v_B es la velocidad del líquido en el punto B, h_A es la altura desde el punto A hasta el orificio y h_B es la altura desde el punto B hasta el orificio.

Teniendo en cuenta que en el punto A la velocidad del líquido es cero y la presión es la presión atmosférica y en el punto B la presión es la presión atmosférica más la presión debida a la columna de líquido, podemos simplificar la ecuación de Bernoulli:

ρgh_A = (1/2)ρv_B^2

Eliminando la densidad ρ de la ecuación, obtenemos:

gh_A = (1/2)v_B^2

Despejando v_B, obtenemos la fórmula del teorema de Torricelli:

v_B = √(2gh_A)

Esta demostración utilizando el principio de Bernoulli nos muestra cómo la velocidad del líquido en el punto B, es decir, la velocidad de salida por el orificio, se relaciona con la altura desde el punto A hasta el orificio. Esta relación nos permite calcular la velocidad del líquido en función de la altura de caída.

Conclusión

El teorema de Torricelli es un principio fundamental en la hidrodinámica que nos permite calcular la velocidad del líquido que sale por un orificio en un tanque. La fórmula del teorema, v = √(2gh), nos proporciona una manera sencilla de determinar esta velocidad en función de la altura desde el orificio hasta la superficie libre del líquido. Este teorema se puede demostrar utilizando tanto el principio de conservación de la energía como el principio de Bernoulli.

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La aplicación del teorema de Torricelli tiene diversas implicaciones prácticas en la ingeniería y la física. Permite el diseño de sistemas de drenaje eficientes y el cálculo del caudal de líquidos que fluyen a través de tuberías. También es utilizado en la industria para el diseño de fuentes de agua y en la medicina para el estudio del flujo sanguíneo.

El teorema de Torricelli es una herramienta poderosa que nos permite comprender y calcular el comportamiento del flujo de líquidos. A través de su fórmula y demostración, podemos realizar análisis rigurosos y tomar decisiones informadas en diversos campos de la ciencia y la ingeniería.